Dynamika kmitavého pohybu

Dynamika zkoumá příčiny pohybu. Příčinou kmitání mechanického oscilátoru je buď síla pružnosti, nebo tíhová síla.

Zrychlení harmonického kmitavého pohybu je a = –ω²y.

Síla, která způsobuje harmonické kmitání, je potom F = ma = –mω²y.

Tuto rovnici označujeme jako pohybovou rovnici mechanického oscilátoru.

Obr. 1: Dynamika kmitavého pohybu

V rovnovážné poloze platí kΔl = mg (k je tuhost pružiny, Δl je prodloužení pružiny, m je hmotnost tělesa a g je tíhové zrychlení).

Jakmile oscilátor kmitá, síla pružnosti F_p se mění, ale tíhová síla F_G zůstává konstantní (viz obrázek výše).

Na oscilátor (těleso) působí výsledná síla F = F_p + F_G, pro velikost této síly platí:

F = k(Δl – y) – mg = kΔl – mg – ky = – ky.

Srovnáme-li získaný výsledek s pohybovou rovnicí mechanického oscilátoru:

Úhlová frekvence ω volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí jen na jeho parametrech, tj. na hmotnosti m tělesa a tuhosti k pružiny.

Úlohy:

1. Pružinový oscilátor vznikl zavěšením tělesa o hmotnosti 0,5 kg na pružinu, která se prodloužila o 15 cm. Určete periodu a frekvenci oscilátoru (g = 9,8 m∙s^-2).

2. Těleso zavěšené na pružině o tuhosti 20 N∙m^-1 vykoná 40 kmitů za 50 s. Určete hmotnost tělesa.

3. Mechanický oscilátor tvořený tělesem o hmotnosti 250 g zavěšeným na pružině o tuhosti 30 N∙m^-1 kmitá s amplitudou 4 cm. Určete:

a) rychlost tělesa v rovnovážné poloze

b) největší sílu, která na těleso v průběhu periody působí.

4. Mechanický oscilátor je tvořen železnou kuličkou zavěšenou na pružině. Jak se změní frekvence (perioda) kmitání oscilátoru, jestliže železnou kuličku zaměníme kuličkou hliníkovou o stejném objemu?

5. Těleso o hmotnosti 0,5 kg je zavěšeno na pružině o tuhosti 50 N∙m^-1. Při kmitání tohoto oscilátoru byla měřením zjištěna perioda vlastního kmitání 0,67 s. Určete periodu výpočtem a uvažte, co může být příčinou zjištěného rozdílu. Jakou hmotnost by musel mít oscilátor, aby teoretická hodnota periody odpovídala hodnotě naměřené?

6. Změřte pomocí stopek periodu mechanického oscilátoru. (Video_1) Ze známé hmotnosti (m = 250 g) a naměřené periody vypočítejte tuhost pružiny.

7. Změřte pomocí stopek periodu mechanického oscilátoru. (Video_2) Ze známé hmotnosti (m = 100 g) a naměřené periody vypočítejte tuhost pružiny.

8. Změřte pomocí stopek periodu mechanického oscilátoru. (Video_3) Ze známé hmotnosti (m = 200 g) a naměřené periody vypočítejte tuhost pružiny.

9. Pomocí programu pro videoanalýzu (např. program Logger Pro) proveďte analýzu kmitavých pohybů z předcházejících úloh.

10. Položíme-li na pružinové závěsné kuchyňské váhy dva kilogramové balíčky soli, poklesne miska o 1,2 cm. Jaká je tuhost pružiny? S jakou periodou bude miska kmitat? Skutečná perioda kmitů bude kratší nebo delší?

11. Ponoříme-li hustoměr do kapaliny, bude kmitat. Jde o kmity harmonické? Dokažte to. Např. pomocí videoanalýzy.