Laplaceova transformace

V teorii automatického řízení je Laplaceova transformace účinným nástrojem při popisu chování spojitých lineárních obvodů. Usnadňuje řešení lineárních diferenciálních rovnic.

Laplaceova transformace převádí funkce reálné proměnné t (časové funkce) na funkce komplexní proměnné tzv. operátoru s=α+jω (používá se i označení p). Časovou funkci označujeme jako originál, transformací získáme obraz. Umožňuje převést diferenciální rovnici n-tého řádu na algebraickou n-tého stupně a vytvoření obrazového přenosu jako jednoho ze způsobů vyjádření dynamických vlastností.

Transformace časové funkce f(t) na funkci komplexní proměnné F(s)se provádí pomocí definičního integrálu Laplaceovy transformace:

kde f(t) je originál a F(s) je obraz.

Příklad 1.

Vypočítejte Laplaceův obraz jednotkového skoku 1(t).

Jednotkový skok je definován

 Obr. 1: Jednotkový skok

Příklad 2.

Vypočítejte Laplaceův obraz exponenciální funkce .

V praxi využijeme pro získání obrazu funkce slovník Laplaceovy transformace, ve kterém najdeme obrazy často se vyskytujících funkcí.

Ve slovníku zjistíme, že derivování se převádí na násobení operátorem s:

               originál                                                      obraz

Postup při použití Laplaceovy transfomace:

Diferenciální rovnici (originál) převedeme pomocí slovníku na obraz, úlohu řešíme v obraze a pokud je to vyžadováno, tak výsledek převedeme zpětnou Laplaceovou transformací L^-1 do originálu, opět s využitím slovníku.

 

   Obr. 2: Postup při použití Laplaceovy transformace

 

Zdroje

• BALÁTĚ, Jaroslav. Automatické řízení. 2. přepracované vyd. Praha: BEN – technická literatura, 2004, 664s. ISBN 80-7300-148-9.

• VORÁČEK, Rudolf, František ANDRÝSEK, Zdeněk BRÝDL, Luděk KOHOUT a Ladislav ŠMEJKAL.  Automatizace a automatizační technika II. 1. vyd. Praha: Computer Press, 2000, 218s. ISBN 80-7226-247-5.

Obrázky

• Obr. 1: Archiv autora
• Obr. 2: Archiv autora
• Obr. 3: Autor neznámý. Pierre Laplace [online]. [cit. 2015-01-20]. Dostupný na www: http://www.techmania.cz/edutorium/art_vedci.php?key=351.